Informe Técnico de Auditoría Epistemológica
Cátedra: Álgebra y Geometría Analítica · UTN FRBA | Autor: Santiago Sessa (Legajo 212.808-1)
- Resolver: Patrones matemáticos y deducción formal paso a paso.
- Contrastar: Matriz de comparación frente al grupo de estudiantes y modelos de lenguaje de última generación.
- Verificar: Control geométrico de pertenencia directa ($P \in \pi$) y trazabilidad de signos.
- Tensionar: Formulación de prompts adversarios con premisas falsas para evaluar la robustez conceptual.
- Reflexionar: Conclusiones metacognitivas sobre las competencias analíticas del futuro ingeniero.
1. Intersección Recta-Plano
Dada la recta $r: (x,y,z) = (-1+3\lambda, 2+\lambda, -2\lambda)$ y el plano $\pi: 2x - y + z - 6 = 0$, la sustitución paramétrica arroja $2(-1+3\lambda) - (2+\lambda) + (-2\lambda) - 6 = 0 \iff 3\lambda - 10 = 0 \implies \lambda = 10/3$. Las coordenadas exactas del punto de corte son $I = (9, 16/3, -20/3)$. La verificación en el plano confirma $2(9) - 16/3 - 20/3 - 6 = 18 - 12 - 6 = 0$.
2. Ángulo entre Recta y Plano
Con $\vec{d} = (1,2,2)$ y $\vec{n} = (1,-2,2)$, ambos con norma $||\vec{d}|| = ||\vec{n}|| = 3$ y producto escalar $\vec{d} \cdot \vec{n} = 1$, el ángulo complementario respecto a la normal es $\cos \beta = 1/9 \implies \beta \approx 83,62^\circ$. El ángulo real con el plano es $\sin \alpha = 1/9 \implies \alpha = 6^\circ 22' 46'' \approx 6,38^\circ$.
3. Análisis de Existencia del Parámetro $m$
Caso 3.a ($r \parallel \pi$): Requiere $\vec{d} \perp \vec{n} \implies 3m + 6 - 8 = 0 \implies m = 2/3$.
Caso 3.b ($r \perp \pi$): Requiere $\vec{d} \parallel \vec{n} \implies (m, 6, 4) = k(3, 1, -2)$. La segunda componente fija $k = 6$, pero la tercera exigiría $4 = -2(6) = -12$ (contradicción irresoluble $6 \ne -2$). En consecuencia, el sistema es incompatible y no existe valor real de $m$ ($\nexists m \in \mathbb{R}$).
4. Planos Proyectantes y Control de Signo
A partir de la recta en forma simétrica $\frac{x-2}{4} = \frac{y+1}{-3} = \frac{z-5}{1}$, se derivan los planos proyectantes:
• Plano $xy$: $3x + 4y - 2 = 0$
• Plano $xz$: $x - 4z + 18 = 0$ (corrección crítica del signo: $x-2 = 4z-20 \implies x-4z+18=0$, verificado con $P(2,-1,5) \to 2 - 4(5) + 18 = 0$)
• Plano $yz$: $y + 3z - 14 = 0$